Les matrices aléatoires : des maths au service de la physique quantique et de l'étude des écosystèmes

En algèbre linéaire, les fonctions sont représentées par des tableaux de nombres : les matrices. L'information essentielle contenue dans une matrice peut être résumée sous la forme d'un ensemble plus petit de valeurs, appelées valeurs propres, qui décrivent la manière dont la fonction transforme l'espace. Dès le XIXᵉ siècle, les mathématiciens et mathématiciennes ont adopté l'écriture matricielle pour faciliter la résolution des systèmes d'équations linéaires. Aujourd'hui, les matrices, qui ont fait leur grand retour au programme du lycée, sont omniprésentes dans toutes les sciences — jusqu'au classement des pages web, l’entraînement des IA et la reconstruction d’images médicales.

Parfois, les valeurs exactes des matrices ne sont pas connues, ou bien l'on sait que les valeurs mesurées comportent une part de bruit, c'est-à-dire d'aléa. C'est là qu'entre en jeu la théorie des matrices aléatoires : plutôt que d'étudier une matrice donnée, on cherche à prédire les propriétés typiques d'un système dont on connaît les grandes lignes (par exemple les symétries ou les valeurs moyennes), mais pas le détail, remplacé par des variables aléatoires.

« Ce qui est intéressant, c'est que l'on peut souvent extraire de ces coefficients aléatoires une prévision étonnamment précise du comportement des valeurs propres », commente Guillaume Dubach, professeur Monge au Centre de mathématiques Laurent Schwartz1. En effet, grâce à ces valeurs propres, et sans connaître les coefficients exacts de la matrice (son contenu précis), il est possible de tirer des conclusions générales sur le type d'information qu'elle est susceptible de contenir. « Ce comportement des valeurs propres a différentes conséquences, selon le contexte. En physique théorique, cela donne une idée de la répartition des niveaux d'énergie des noyaux atomiques lourds. En neurosciences, cela permet d'identifier des configurations neuronales privilégiées, comme celles qui sont liées à la perception des quantités. En écologie théorique, cela permet de dire en principe si un système est stable, ou si une espèce est vouée à disparaître. »

Les tenseurs aléatoires : passage aux dimensions supérieures

Si une matrice organise des nombres dans un tableau à deux dimensions, un tenseur généralise cette idée à un plus grand nombre de dimensions — on peut imaginer, plutôt qu'un tableau, un cube de nombres, ou son équivalent en dimension encore plus grande. Là où une matrice décrit des relations entre deux ensembles de paramètres, un tenseur permet de décrire des interactions faisant intervenir plusieurs entités à la fois. Ce cadre plus riche ouvre la voie à l'étude de phénomènes plus complexes. Et de même qu'il y a des matrices aléatoires, il y a des tenseurs aléatoires... mais ce domaine de recherche n'en est qu'à ses débuts.

La difficulté est que les outils qui font la force des matrices ne se transposent pas facilement. « Une direction actuelle consiste à comprendre quelles questions et quels outils des matrices peuvent être généralisés aux tenseurs », détaille Stéphane Dartois, professeur junior à l'Université de Bordeaux. En particulier, on sait définir une notion de valeurs propres pour un tenseur, mais aucun algorithme ne permet, à ce jour, de les calculer efficacement dans le cas général. Le jeu en vaut pourtant la chandelle : « les tenseurs représentent des interactions entre plusieurs entités, et comprendre les tenseurs, c'est comprendre ces interactions. »

C'est précisément cela qui les relie à la physique quantique. L'état de plusieurs bits quantiques (ou qubits) ne se réduit pas à leurs interactions deux à deux : il fait intervenir des corrélations collectives (l'intrication) que seul un objet à plusieurs dimensions, comme un tenseur, peut décrire fidèlement. Or maîtriser ces interactions est l'un des défis majeurs de la construction d'un ordinateur quantique — un domaine où les tenseurs pourraient avoir un rôle à jouer.

Mettre un écosystème dans une matrice aléatoire pour déterminer sa stabilité et sa résilience

Si l'on modélise l'évolution d'un écosystème par un système d'équations, son étude se simplifie localement pour se résumer à une question d'algèbre linéaire. En effet, grâce aux valeurs propres d'une matrice associée au système d'équations, on peut déterminer si l'écosystème est en état d'équilibre stable, ou non. Il devient alors possible d'étudier la probabilité qu'un écosystème soit stable, à partir de ses propriétés globales, et en modélisant l'inconnu par de l'aléa : c'est encore une affaire de matrices aléatoires ! Lilou Thomas, étudiante en master de biologie computationnelle à l'École polytechnique fédérale de Zurich (ETH) après un Bachelor of Science à l'École polytechnique, et Aniss Farès, doctorant au Centre de mathématiques Laurent Schwartz, poussent plus loin cette analyse.

Au-delà de la question de la stabilité, Lilou Thomas cherche à comprendre comment déterminer si un point d'équilibre stable de l'écosystème est résilient, ou « robuste » : c'est-à-dire s'il demeure stable malgré de légères perturbations, ou si au contraire un faible changement de la matrice serait susceptible de le rendre instable. L'enjeu de sa Bachelor Thesis était d'évaluer à quel point les valeurs propres les plus à risque, appelées outliers, résistent à des perturbations de la matrice. La fondation mathématique Jacques Hadamard (FMJH) lui a attribué le prix Mirzakhani junior pour son mémoire.

La conclusion des récents travaux conjoints d'Aniss Farès, Lilou Thomas et Guillaume Dubach se veut rassurante : dans tous les cas de figure envisagés, ces outliers sont, avec une bonne probabilité, étonnamment stables, ce qui penche en faveur d'une certaine résilience d'un écosystème à la limite de la stabilité.

Invisibles mais omniprésentes, les matrices aléatoires sont un objet de recherche fondamentale aux enjeux très actuels, qui permet d'appréhender le fonctionnement global des systèmes complexes, avec de multiples applications à la clef. L'histoire de cette théorie met en lumière l'importance de la recherche fondamentale pour anticiper les questions de demain.

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  CMLS (CNRS/École polytechnique), à Palaiseau